無限を理解したいですか? パイ生地から始めましょう。

以下はユージニア・チェン著『Beyond Infinity』からの抜粋です。

私はエベレストの頂上に行くことはまずないだろうと確信しています。テレポーテーションの可能性は楽観的に残しておきますが、それ以外は絶対に行かないと確信しています。南極にもほぼ間違いなく行かないと思います。エベレストに登頂した人を知りませんが、南極で働いている天体物理学者を知っています。南極は飛行機でも行くのが難しいことは知っていますが、それでも距離は有限です。エベレストの高さは有限であることも知っています。しかし、私にとってはどちらも無限に遠いのと同じです。なぜなら、私はそこに行くことはないからです。

無限は存在しますが、私たちはそこに到達できるのでしょうか? 無限に多くのことを、おそらく無限に小さいものなら、実行できるのでしょうか? このことを理解する方法を実際に検討する前に、ほとんど無限になるほど大きくなると思われるものや、私たちが何かをほぼ無限に行っているように見える時について考えてみましょう。

チェス盤上の米に関する古い難問があります。ある男がチェス盤の最初のマス目に米を 1 粒頼み、2 つ目のマス目にはその 2 倍、3 つ目のマス目にはその 2 倍と、チェス盤がいっぱいになるまでマスごとに頼みます。問題は、最終的にどれだけの量の米が手に入るかです。簡単に答えると、かなりたくさんです。しかし、正確にはどれくらいでしょうか。

原理的には難しい問題ではありません。64 個の平方をすべて終えるまで、2 を掛けて答えをすべて足し合わせるだけです。ただし、これを試してみると、数字があっという間に大きくなり、通常の設定では電卓やコンピューターが処理できる数値よりもはるかに大きくなることがわかります (特別な計算ツールがインストールされている場合を除きます)。計算を高速化するトリックはありますが、それでも非常に大きな数値、つまり 18,446,744,073,709,551,615 粒の米を扱わなければなりません。

もちろん、馬鹿げた数学の問題以外では、米を粒で測ることはありません。（私は数学の授業で初めてこの問題を聞き、手で答えを出そうとしましたが、間違えました。）では、実際のところ、米はどのくらいの量なのでしょうか？ 米 1 g を量ってから粒を数えてみたところ、約 50 粒のようでした。したがって、次のように大まかに見積もることができます。

• 1g = 米50粒
• 1ボウル = 100 g = 5000粒
• 1人＝1日4杯のご飯＝2万粒
• 世界 = 70億人 = 140,000,000,000,000粒
• 1年 = 約500日 = 70,000,000,000,000,000グレイン

これは末尾に 16 個のゼロがあります。私たちが持っていた米の数は 18,446,744,073,709,551,615 個で、末尾に 19 個のゼロがあるためおよそ 2 個です。つまり、ゼロが 3 つ増え、約 1000 倍になります。したがって、約 1000 年間は世界の人口を養うことができそうです。(現在の状況では、世界の人口は毎年大幅に増加しているという事実は考慮していません。) 私の計算は非常に大雑把ですが、大まかな考え方は伝わると思います。チェス盤の上で動かしながら、量を何の変哲もない 2 倍に増やすだけで、すぐにありえない量の米、つまり現在世界に存在する量より多くの米にたどり着きます。

パイ生地もこれと同じ原理を利用しています。繰り返し増殖すると非常に速く膨らむのです。パイ生地には驚くほど多くの小さな層があり、生地をたった 6 回三つ折りにすることで作られます。生地には最初に厚いバターの層が挟まれており、適度な粘度になっているため、生地を伸ばすとバターがサンドイッチの中できれいに平らになります。次に生地を三つ折りにして 6 層にし、冷やして層が固く互いに溶け合わないようにします。次に生地を伸ばして三つ折りにし、再び冷やします。これを 6 回繰り返します。繰り返し 3 倍にすると層の数が急速に増え、その後パイ生地を焼くと薄いバターの層が溶けてバターの液体部分が蒸発して蒸気が発生し、これが層を押し広げるため、オーブンの中でパイ生地が物理的に膨らむのを見ることができます。数字が抽象的に増えるだけではありません。

これは指数関数的成長の私のお気に入りの例です。非公式には、物事が指数関数的に成長しているというのは、単に大きく成長しているという意味で、ある意味正しいのですが、正式な数学的意味は、常に同じ比例率で成長しているということです。パイ生地を最初に 3 つに折り、次に 4 つ、5 つ、6 つに折ると、層の数はさらに速く増えますが、増殖率が変化するため、指数関数的ではありません。

指数関数的成長がパイ生地のおいしさに直接つながるという事実が気に入っています。パイ生地の多層構造はドラマチックで美しいだけでなく、非常に薄いため口の中で繊細に溶けていきます。パイ生地は作るのが難しいという評判がありますが、指数関数を使うことで、非常に薄いパイ生地の層を作るのが実際にはかなり簡単になるという点がこの方法の優れた点だと思います。結局のところ、そのような薄い層を 1 つ 1 つ伸ばすのは非常に難しいでしょう。数学の本来の目的は、難しいことを簡単にすることにあるはずです。

残念ながら、それは多くの場合、どこからともなく難しいものを作り出す方法のように見えます。

2017 年 3 月に Basic Books から出版された Eugenia Cheng 著『Beyond Infinity』より抜粋。許可を得て掲載しています。

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