片側だけの物体への執着を克服する

おそらく、日常生活の中で、アルミ缶やペットボトルの裏に印刷されているリサイクルの国際シンボルのような、片面のある物体に何百回も遭遇したことがあるでしょう。

この数学的対象はメビウスの輪と呼ばれています。1858 年にドイツの数学者アウグスト・メビウスによって発見されて以来、環境保護論者、芸術家、エンジニア、数学者など多くの人々を魅了してきました。メビウスは 150 年前の 1868 年 9 月 26 日に亡くなりました。

メビウスは、1858 年にライプツィヒ大学で天文学と高等力学の教授を務めていたときに、片面の帯を発見しました。(実際には、リスティングという別の数学者がその数か月前にそれを説明していましたが、1861 年までその研究を発表していませんでした。) メビウスは、頂点、辺、平面で構成される立体図形である多面体の幾何学理論に取り組んでいるときに、メビウスの帯に出会ったようです。

メビウスの帯は、紙を半ねじりして奇数回ひねり、両端をテープで貼り合わせて輪にすることで作ることができます。鉛筆で紙の中央に沿って線を引くと、線が輪の両側に沿っていることがわかります。

片面の物体という概念は、オランダのグラフィックデザイナー、MCエッシャーのような芸術家にインスピレーションを与えました。エッシャーの木版画「メビウスの輪II」には、メビウスの輪に沿って次々と這う赤いアリが描かれています。

メビウスの帯には、驚くべき特性が 1 つだけではありません。たとえば、はさみを使って、先ほど描いた線に沿って帯を半分に切ってみてください。2 つの小さな片面のメビウスの帯ではなく、1 つの長い両面の輪が残ることに驚くかもしれません。手元に紙がない場合は、エッシャーの木版画「メビウスの帯 I」で、メビウスの帯を中心線に沿って切ると何が起こるかがわかります。

この漫画は確かに視覚的に魅力的だが、その最大の影響は数学にあり、位相幾何学と呼ばれる分野全体の発展を促進するのに貢献した。

位相幾何学では、部品を切ったり接着したりせずに、移動、曲げ、引き伸ばし、ねじったりしても保持される物体の特性について研究します。たとえば、絡まったイヤホンは位相幾何学的には絡まっていないイヤホンと同じです。なぜなら、イヤホンを別のイヤホンに変えるには、移動、曲げ、ねじりだけが必要なためです。イヤホンを変形させるのに、切ったり接着したりする必要はありません。

位相的に同じオブジェクトの別のペアは、コーヒー カップとドーナツです。どちらのオブジェクトにも穴が 1 つしかないため、伸ばしたり曲げたりするだけで、一方を他方に変形できます。

物体の穴の数は、切断または接着によってのみ変更できる特性です。この特性は物体の「属」と呼ばれ、ドーナツには穴が 1 つあるのに対し、イヤホンには穴がないため、イヤホンとドーナツは位相的に異なると言えます。

残念ながら、メビウスの帯と、典型的なシリコン製の認知リストバンドのような両面ループは、どちらも 1 つの穴があるように見えるため、この特性は、少なくとも位相幾何学の観点からは、それらを区別するのに不十分です。

代わりに、メビウスの帯を両面ループと区別する特性は、方向付け可能性と呼ばれます。穴の数と同様に、オブジェクトの方向付け可能性は、切断または接着によってのみ変更できます。

透明な表面にメモを書いて、その表面を歩き回ることを想像してください。散歩から戻ったときに、常にメモを読める場合、その表面は方向付け可能です。方向付け不可能な表面では、散歩から戻ったときに、書いた言葉が明らかに鏡像になっていて、右から左にしか読めないことに気づくかもしれません。両面ループでは、どこに旅したとしても、メモは常に左から右に読めます。

メビウスの帯は向きを変えることができませんが、両面ループは向きを変えることができます。つまり、メビウスの帯と両面ループは位相的に異なることになります。

方向性の概念には重要な意味があります。エナンチオマーを例に挙げましょう。これらの化合物は、1 つの重要な違いを除いて同じ化学構造を持ちます。つまり、互いに鏡像であるということです。たとえば、化学物質 L-メタンフェタミンは、ヴィックス蒸気吸入器の成分です。その鏡像である D-メタンフェタミンは、クラス A の違法薬物です。方向性のない世界に住んでいたら、これらの化学物質は区別がつかないでしょう。

アウグスト・メビウスの発見は、自然界を研究する新しい方法を切り開きました。位相幾何学の研究は、驚くべき成果を生み出し続けています。たとえば、昨年は、位相幾何学によって科学者が物質の奇妙な新しい状態を発見しました。今年の数学界最高の栄誉であるフィールズ賞は、位相幾何学と数論などの他の分野との統合に貢献した数学者、アクシャイ・ベンカテシュに授与されました。

デビッド・ガンダーマンはコロラド大学応用数学博士課程の学生です。リチャード・ガンダーマンはインディアナ大学医学部、教養学部、慈善事業学部の学長教授です。この記事はもともと The Conversation に掲載されました。