数学者にとって数学はどのように見えるでしょうか?

数学者にとって数学はどのように見えるでしょうか? それは非常に単純です。数学は言語のように見えます。

奇妙な言語であることは認めます。内容が濃く、簡潔で、読むのに骨が折れます。私がトワイライトの小説を 5 章ほどさっと読んでいる間に、皆さんは数学の教科書のページをめくる暇すらないでしょう。この言語は、特定のストーリー (曲線と方程式の関係など) を語るのに適していますが、他のストーリー (少女と吸血鬼の関係など) を語るのには不向きです。そのため、他の言語にはない単語でいっぱいの独特な語彙集になっています。たとえば、a ₀ + ∑ ^∞ _n=1 (a _n cos(nπx/L) + b _n sin(nπx/L) を平易な英語に翻訳できたとしても、フーリエ解析に詳しくない人には意味がわかりません。トワイライトが 10 代のホルモンに詳しくない人には意味がわからないのと同じです。

しかし、数学は少なくともある意味では普通の言語です。数学者は、読者に理解してもらうために、ほとんどの読者に馴染みのある戦略を採用します。心の中でイメージを描きます。頭の中で言い換えます。気を散らすような専門用語は飛ばします。読んでいる内容と既に知っていることとの関連を描きます。そして、奇妙に思えるかもしれませんが、感情を働かせ、読んでいる内容に喜びやユーモア、不快感を抱きます。

さて、この短い章では流暢なロシア語を教えられないのと同じように、流暢な数学を教えることもできません。文学研究者がジェラルド・マンリー・ホプキンスの連句や電子メールの曖昧な言い回しについて議論するのと同じように、数学者も細かい点については意見が一致しません。それぞれが、生涯にわたる経験とつながりによって形成された独自の視点を持っています。

そうは言っても、私は、数学者が実際の数学を解釈する戦略を垣間見るために、いくつかの非文字通りの翻訳を提供したいと思っています。これを Squiggle Theory 101 と考えてください。

生徒からよく聞かれる質問は、「最初に 11 を掛けるか 13 を掛けるかは重要ですか?」です。答え (「いいえ」) よりも、この質問が明らかにする内容の方が興味深いです。つまり、生徒の目には、掛け算はアクション、つまり行う事柄として映っているのです。ですから、私が生徒に教える最も難しいレッスンの 1 つは、「時には、掛け算をしない」ということです。

7 × 11 × 13 をコマンドとして読む必要はありません。単に数字と呼んでそのままにしておくこともできます。

どの数字にも、たくさんの別名や芸名があります。この数字を 1002 - 1、499 × 2 + 3、5005/5、ジェシカ、地球を救う数字、あるいはただの 1001 と呼ぶこともできます。しかし、この数字が友人たちに 1001 として知られているのであれば、7 × 11 × 13 は風変わりで恣意的な呼び名ではありません。むしろ、出生証明書に記載されている正式な名前です。

7 × 11 × 13 は素因数分解であり、多くのことを物語っています。

重要な背景知識: 足し算は退屈なものです。つまり、1001 を 2 つの数字の合計として書くのは本当に退屈な暇つぶしです。1000 + 1、999 + 2、998 + 3、997 + 4 などと書くことができ、退屈で昏睡状態に陥るまで続けます。これらの分解から 1001 について特別なことは何もわかりません。なぜなら、すべての数字はほぼ同じように分解できるからです (たとえば、18 は 17 + 1、16 + 2、15 + 3 などと書くことができます)。視覚的に、これは数字を 2 つの山に分けるようなものです。気を悪くするつもりはありませんが、山は愚かです。

掛け算。これがパーティーの醍醐味です。このお祭りに参加するには、数学の読み方に関する最初の戦略、つまり心の中でイメージを形成することを実行することが必要です。

前のページの図が示すように、掛け算はグリッドと配列がすべてです。1001 は、7 x 11 x 13 のブロックの巨大な構造として考えることができます。しかし、これはまだ始まったばかりです。

これを 77 の層が 13 層あると想像できます。または、頭を横に傾けると、91 の層が 11 層あることになります。または、頭を別の方向に傾けると、143 の層が 7 層あることになります。1001 を分解するこれらの方法はすべて、素因数分解からすぐにわかりますが、1001 という名前から、苦労して推測せずに判別するのは事実上不可能です。

素因数分解は数字の DNA です。そこから、すべての因数と因数分解、元の数を割り切れる数と割り切れない数を読み取ることができます。数学が料理教室だとしたら、7 × 11 × 13 はパンケーキのレシピではありません。それはパンケーキそのものです。

一般的なファンにとって、π は神秘的なルーン文字であり、数学的な魔術の象徴です。彼らはπ の非合理性について考え、何千もの数字を暗記し、人類の芸術の中で最も栄光あるもの (デザート パイ) と最も栄光のないもの (しゃれ) を組み合わせて 3 月 14 日の円周率の日を祝います。一般の人々にとって、π は執着の対象、畏敬の対象、さらには崇拝に近いものでもあります。

数学者にとっては、それはおよそ 3 です。

素人を魅了する小数点以下の無限の列？数学者はそれほど気にしません。数学は正確さだけの問題ではなく、素早い見積もりと賢い近似値の問題であることを知っています。直感を養うには、合理化と単純化が役立ちます。知的な不正確さは、数学を読むための次の重要な戦略です。

A = πr ²という式を例に挙げましょう。多くの学生はこの式を何度も耳にしているので、「円の面積」というフレーズを聞くだけで、洗脳プログラムされた潜入工作員のように「π r の 2 乗だ!」と叫びたくなります。これはどういう意味でしょうか? なぜそうなるのでしょうか?

さて、3.14159 は忘れてください。頭をぼんやりさせてください。形だけを見てください。

r は円の半径です。長さです。

r ²は、図のような小さな正方形の面積になります。

さて、πドルの質問です。円の面積は正方形の面積と比べてどうでしょうか?

明らかに、円の方が大きいです。しかし、4 倍というわけではありません (4 つの正方形で円を覆うと、さらに少し大きくなるからです)。目視で見ると、円は正方形の 3 倍強の大きさだと推測できます。

そして、それはまさに私たちの式が示している通りです:面積 = 3 × r² より少し大きい。

正確な値（なぜ 3.19 ではなく 3.14 に近いのか）を検証したい場合は、証明を使用できます。（いくつかの素晴らしいデモンストレーションがあります。私のお気に入りは、円をタマネギのように剥き、層を重ねて三角形を作るというものです。）しかし、数学者は、彼らが何を主張しようとも、常にすべてを第一原理から証明するわけではありません。大工から動物園の飼育員まで、誰もがそうであるように、彼らは、ツールがどのように構築されたかを正確に知らなくても、それがなぜ機能するかを理解していれば、喜んでツールを使用します。

Ben Orlin 著『Math with Bad Drawings』より抜粋。2018 年 9 月、Black Dog および Leventhal Publishers。許可を得て掲載。