この神秘的な古代の石板は、数学について何かを教えてくれるかもしれない

一部の研究者は、バビロニア人が三角法を発明し、しかもそれをより優れたものにしたと言っている。メソポタミアの書記官による3,700年前の走り書きが特徴で、長く議論されてきたプリンプトン332として知られる粘土板が、今週、ヒストリア・マセマティカ誌に発表された新しい研究の主題となっている。現代の数学者チームは、新しい分析により、この遺物が三角法（三角形の要素（辺と角度）の関係を説明する数学）の史上最古の例であることが明らかになったと主張している。彼らの発見は、墓の中でヒッパルコスが90度回転するかもしれない。三角法の父と称されることの多いギリシャの天才は、1,000年後まで三角法を思いつかなかったのだ。

新しい研究の結果は決定的なものには程遠いが、非常に興味深いものである。

「バビロニアの粘土板は宝の山だが、研究されているのはまだほんの一部だ」とニューサウスウェールズ大学の准教授でこの研究の共著者であるノーマン・ワイルドバーガー氏は声明で述べた。「数学界は、この古代でありながら非常に洗練された数学文化が私たちに多くのことを教えてくれるという事実にようやく気づき始めたところだ」

プリンプトン 332 が何らかの数学に使われたことは疑いようがありません。1900 年代初頭にイラクで発見されたこの粘土板には、4 列 15 行の数字が刻まれています。科学者たちは昔から、楔形文字の数値はピタゴラス数列と呼ばれるものになっていると推測していました。ピタゴラスの定理 (a ² +b ² =c ² ) は、直角三角形の 3 辺の長さの関係を説明しています。ピタゴラス数列とは、この式に当てはまる数列、つまり 90 度の角度を持つ三角形の長さに対応できる 3 つの数字のことです。粘土板では、数列は行を下るにつれて、より平らな直角三角形に対応しています。

この石板は保存状態は良いものの、不完全です。かつてそこにあった行と列の総数、あるいは失われた部分に何があったかが分からないため、その用途について確固たる結論を出すことは困難です。一部の研究者は、これらの数字は数学の教師が生徒の課題をチェックするために存在していたと考えています。これは代数の宿題のごく初期の部分かもしれません。おそらく筆写者は生徒に未知の変数を解かせたかっただけで、偶然ピタゴラスの三つ組を使っただけでしょう。

今のところ、これが私たちにとって最高の説明です。

ワイルドバーガー氏とデイビッド・マンスフィールド氏は、新しい研究で、断片だったかもしれないという過去の研究を寄せ集めて、この知識のギャップを埋めようとしている。彼らは、元々の列が 6 列、行が 38 行だったという主張を裏付けることができると考えている。彼らの仮説では、この粘土板が完成していたなら、現代の三角表にあるものよりも正確な三角比 (読者が未知の角度を計算するために使用できる情報) が記載されていた可能性があるという。

精度が高くなる理由は非常に興味深いものです。私たちは 10 進法の数値システムを採用しています。10 進法では、正確な分数は 2 つしかありません (1/2 または 0.5 と 1/5 または 0.2)。それ以外の分数を割ると、数字がくっついてしまいます。考えてみてください。実際に何かの価格を 3 分の 1 に完全に分けることはできません。1 ドルの 3 分の 1 は 0.333 (など) セントです。十分に丸い数字にするには、こっそりと数ペニーを移動させる必要があります。一方、1 時間を 3 分の 1 に分割するのは簡単です。20 分です。バビロニア人は 60 進法で数えていました。つまり、2 と 5 の倍数から完全な分数を得ることに加えて、3 も混ぜていました。切り上げたり切り捨てたりすることがあまりないため、除算がほんの少しだけ正確になります。

「バビロニア人のこの正確な算術は、彼らが正確さを好んだ幾何学にも影響を与えた」と著者らはザ・カンバセーション誌の論評で書いている。「彼らは、長方形の短辺、長辺、対角線をそれぞれb、l、dとすると、正確なb/lとd/lの比率の範囲内で、多種多様な直角三角形を作り出すことができた。b/lの比率は、古代バビロニア人とエジプト人にとって特に重要だった。なぜなら、彼らはこの比率を使って傾斜の度合いを測っていたからだ。」

学校で習った三角法では、三角形の長さと角度の近似値を計算する方法を教わったかもしれません。しかし、この石板の使用に関する新しい研究が正しいとすれば、バビロニア人は最初から最後まで正確な値を使用していたことになります。古い数学に対するこの新しい解釈が応用されるかどうかは、まだわかりません。

この研究は、非常に多くの状況証拠にも頼っている。多くの学者は、パズルの失われたピースに基づいてこのような大胆な結論を出したことには感心していない。一部の専門家は、他の文献からバビロニア人が角度についてそれほど高度な理解を持っていなかったことは明らかだと主張する。また、バビロニアで本格的な三角法が行われていた可能性は認めるが、研究チームの次の大きな飛躍、つまり、この都市の空中庭園などの驚異的な建造物の構築にこれらの超高精度の表が使用されたという示唆を必ずしも受け入れていない。

今のところ、これらの発見は、興味深い（そして完全に突飛な話でもない）話以上の証拠にはならない。数学の歴史（そしてバビロニアの建築方法）についてこれほど大きな結論を導き出すには、さらに多くの粘土板が必要になるだろう。